在科学实验和工程计算中，测量值总是存在一定的误差。这些误差会随着计算过程逐渐传递到最终结果中，影响计算的准确性。因此，研究误差如何在数学运算中传播具有重要意义。误差传播定律提供了一种定量描述这种误差传递的方法。

误差传播定律的核心在于建立输入量的误差与输出量误差之间的关系。假设我们有一个函数 \( z = f(x_1, x_2, ..., x_n) \)，其中 \( z \) 是输出量，\( x_1, x_2, ..., x_n \) 是输入量。如果每个输入量 \( x_i \) 都存在一个标准差 \( \sigma_{x_i} \)，那么输出量 \( z \) 的标准差 \( \sigma_z \) 可以通过以下一般公式来表示：

\[

\sigma_z^2 = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial f}{\partial x_i} \right)^2 \sigma_{x_i}^2

\]

这个公式表明，输出量的方差是由所有输入量的方差及其偏导数共同决定的。具体来说，每一项 \( \left( \frac{\partial f}{\partial x_i} \right)^2 \sigma_{x_i}^2 \) 表示了第 \( i \) 个输入量对输出量方差的贡献程度。

为了更好地理解这一公式的应用，我们可以考虑一个简单的例子。假设我们需要计算矩形面积 \( A \)，已知长度 \( L \) 和宽度 \( W \) 的测量值分别为 \( L = 10 \pm 0.1 \) 和 \( W = 5 \pm 0.05 \)。根据面积公式 \( A = L \cdot W \)，我们可以应用误差传播定律来估算面积的标准差：

\[

\sigma_A^2 = \left( \frac{\partial A}{\partial L} \right)^2 \sigma_L^2 + \left( \frac{\partial A}{\partial W} \right)^2 \sigma_W^2

\]

计算偏导数 \( \frac{\partial A}{\partial L} = W \) 和 \( \frac{\partial A}{\partial W} = L \)，代入数据得到：

\[

\sigma_A^2 = (5)^2 (0.1)^2 + (10)^2 (0.05)^2 = 0.25 + 0.25 = 0.5

\]

因此，面积的标准差为 \( \sigma_A = \sqrt{0.5} \approx 0.707 \)。

通过这个例子可以看出，误差传播定律不仅能够帮助我们评估测量结果的不确定性，还能指导我们在实验设计和数据分析中采取更合理的措施来减小误差的影响。掌握这一理论对于提高科学研究和工程实践的质量至关重要。