在高中数学的学习中，概率与统计是重要的组成部分，它不仅在考试中占有一定分值，而且在实际生活中也有广泛的应用。掌握好这部分内容，有助于提升逻辑思维能力和数据分析能力。以下是对高中阶段概率与统计相关公式的系统性总结，便于同学们复习和巩固。
一、基本概念
1. 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
2. 必然事件：在一定条件下一定会发生的事件。
3. 不可能事件：在一定条件下一定不会发生的事件。
4. 样本空间（S）：所有可能结果的集合。
5. 事件（A）：样本空间的一个子集。
二、概率的基本性质
1. 概率的定义：
对于一个事件 $ A $，其概率 $ P(A) $ 满足：
$$
0 \leq P(A) \leq 1
$$
其中，$ P(S) = 1 $，$ P(\varnothing) = 0 $。
2. 互斥事件的概率加法公式：
若事件 $ A $ 和 $ B $ 互斥（即不能同时发生），则：
$$
P(A \cup B) = P(A) + P(B)
$$
3. 对立事件的概率公式：
若事件 $ A $ 的对立事件为 $ \overline{A} $，则：
$$
P(A) + P(\overline{A}) = 1
$$
4. 独立事件的概率乘法公式：
若事件 $ A $ 和 $ B $ 相互独立，则：
$$
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
$$
5. 条件概率公式：
在已知事件 $ B $ 发生的前提下，事件 $ A $ 发生的概率为：
$$
P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad (P(B) > 0)
$$
三、古典概型与几何概型
1. 古典概型：
所有基本事件出现的可能性相等，且总共有 $ n $ 个基本事件。若事件 $ A $ 包含 $ m $ 个基本事件，则：
$$
P(A) = \frac{m}{n}
$$
2. 几何概型：
当样本空间是一个连续区域时，事件的概率可以通过长度、面积或体积的比例来计算。
四、排列组合公式
1. 排列数：从 $ n $ 个不同元素中取出 $ m $ 个进行排列的种数为：
$$
A_n^m = \frac{n!}{(n - m)!}
$$
2. 组合数：从 $ n $ 个不同元素中取出 $ m $ 个进行组合的种数为：
$$
C_n^m = \frac{n!}{m!(n - m)!}
$$
五、随机变量与分布
1. 离散型随机变量：取值为有限或可列无限个的变量。
- 期望（均值）：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X = x_i)
$$
- 方差：
$$
D(X) = E[(X - E(X))^2] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 P(X = x_i)
$$
2. 二项分布：
设 $ X \sim B(n, p) $，表示进行 $ n $ 次独立重复试验，每次成功的概率为 $ p $，则：
$$
P(X = k) = C_n^k p^k (1 - p)^{n - k}
$$
- 期望：$ E(X) = np $
- 方差：$ D(X) = np(1 - p) $
3. 正态分布：
若 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，则其概率密度函数为：
$$
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}
$$
- 标准正态分布 $ Z \sim N(0, 1) $，可通过标准化转换使用查表法求概率。
六、统计初步
1. 平均数（均值）：
$$
\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i
$$
2. 方差：
$$
s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2
$$
3. 标准差：
$$
s = \sqrt{s^2}
$$
4. 中位数：将数据从小到大排列后，位于中间位置的数值。
5. 众数：一组数据中出现次数最多的数值。
七、统计推断基础
1. 总体与样本：
- 总体：研究对象的全体。
- 样本：从总体中抽取的一部分个体。
2. 抽样方法：包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样等。
3. 置信区间：用于估计总体参数的范围，如总体均值的置信区间。
结语
概率与统计不仅是数学的重要分支，更是现代科学和工程中不可或缺的工具。通过对上述公式的深入理解和灵活运用，可以有效提高解题效率和分析问题的能力。建议同学们在学习过程中注重理解背后的逻辑关系，并通过大量练习加以巩固。
希望这份总结能帮助大家更好地掌握高中阶段的概率与统计知识，为今后的学习打下坚实的基础。
