【除法求导法则】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。当涉及到两个函数的商（即一个函数除以另一个函数）时，我们需要使用“除法求导法则”来求出其导数。该法则也被称为“商法则”，是求导过程中非常基础且实用的内容。
一、除法求导法则总结
定义：
若函数 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $，则 $ f(x) $ 的导数为：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
公式表达：
$$
\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
$$
适用条件：
- 分子函数 $ u(x) $ 可导
- 分母函数 $ v(x) $ 可导且不为零
注意事项：
- 分母不能为零，否则函数无定义
- 计算时要注意符号的变化，尤其是减号的位置
二、除法求导法则示例
| 函数 | 导数 | 计算过程 |
| $ \frac{x^2}{x+1} $ | $ \frac{(2x)(x+1) - x^2(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} $ | $ u = x^2, v = x+1 $；$ u' = 2x, v' = 1 $ |
| $ \frac{\sin x}{\cos x} $ | $ \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} $ | $ u = \sin x, v = \cos x $；$ u' = \cos x, v' = -\sin x $ |
| $ \frac{e^x}{x} $ | $ \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{e^x (x - 1)}{x^2} $ | $ u = e^x, v = x $；$ u' = e^x, v' = 1 $ |
三、常见误区提醒
| 错误做法 | 正确做法 | 原因 |
| 直接对分子和分母分别求导后相除 | 使用商法则 | 求导不是简单的分数运算 |
| 忽略分母的平方项 | 保留 $ [v(x)]^2 $ | 分母必须平方，否则结果错误 |
| 不检查分母是否为零 | 在定义域内计算 | 分母为零时函数无意义 |
四、总结
“除法求导法则”是微积分中处理函数商形式导数的核心方法之一。通过掌握这一法则，可以准确地对形如 $ \frac{u(x)}{v(x)} $ 的函数进行求导。在实际应用中，需要注意公式的结构、符号的变化以及分母不为零的条件。熟练运用该法则有助于提高解题效率，避免常见的计算错误。
